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Zusammengesetze Körper

Der Begriff der zusammengesetzten Körper bezieht sich in der Mathematik auf mindestens zwei dreidimensionale Körper, die zusammengesetzt eine Einheit bilden. Das Volumen wie auch die Fläche solcher zusammengesetzter Körper lässt sich berechnen.

Für die Berechnung bestehen unterschiedliche Formeln, die sich auf die jeweilige Geometrie der einzelnen Körper oder der zusammengesetzten Körper beziehen. Die einfachste Berechnung von Flächen bei zusammengesetzten Körpern lässt sich mit zwei zusammengesetzten Quadern durchführen. Aus zwei zusammengesetzten Quadern wird ein Quader.

Beispiel:
Ein Quader mit einer Länge von 2 m, einer Breite von 1 m und einer Höhe von 0,5 m. Der Quader besitzt also zwei Flächen mit 2 m Länge und 1 m Breite sowie zwei Flächen mit 2 m Länge und 0,5 m Höhe. Hinzu kommen zwei Flächen mit je 1 m Breite und 0,5 m Höhe. Es gibt also drei verschiedene Flächen, die mit a, b, und c bezeichnet werden.

2a = 2 * 1 * 2 ergibt 4
2b = 2 * 0,5 * 2 ergibt 2
2c = 1 * 0,5 * 2 ergibt 1

Werden diese Ergebnisse miteinander addiert, ergibt sich die Fläche des Quaders:

4 + 2 + 1 = 7
Der Quader besitzt also eine Fläche von 7 m2

Für die Errechnung des Volumens (V) werden die Kantenlängen herangezogen:

V = Länge * Breite * Höhe
V = 2 * 1 * 0,5 = 1 Der Quader besitzt ein Volumen von 1 m3

Nimmt man diesen aus zwei gleich großen Quadern bestehende Quader wieder auseinander halbieren sich entsprechend die Werte bei Fläche und Volumen für die einzelnen Quader.

Wesentlich komplizierter wird es bei der Berechnung von zusammengesetzten Körpern wie Pyramiden oder Kegeln, die beispielsweise mit Zylindern, Quadern oder Würfeln verbunden werden. In der Architektur finden sich häufige Beispiele für Quader, die mit Pyramiden verbunden sind, etwa ein Kirchturm. Es kann aber auch ein Zylinder sein, dem ein Kegel aufgesetzt ist.

Für das bessere Verständnis der nachfolgenden Formeln ist es wichtig zu wissen, wie Punkte, Linien und Gerade sowie Winkel in der Geometrie bezeichnet werden.

Punkte, also etwa Eckpunkte, werden mit Großbuchstaben bezeichnet…A, B, C….
Linien und Gerade erhalten Kleinbuchstaben…..a, b, c……
Winkel wiederum werden mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet …. α, β, γ …..

Es gibt wie bereits oben beschrieben, zwei Wege, um zusammengesetzte Körper zu berechnen. Einmal die Berechnung der einzelnen Körper und der anschließenden Addierung der Ergebnisse daraus sowie als zweiter Weg die Berechnung des gesamten zusammengesetzten Körpers. Der zweite Weg ist hierbei in der Regel genauer, denn je nach den Abmessungen der einzelnen Körper ist es möglich, das Ab- oder Aufrundungen vorgenommen werden müssen, was sich schließlich mit Ungenauigkeiten im Gesamtergebnis niederschlägt.

Beispiel für die Berechnung einzelner Körper.

Ein Zylinder mit 3 m Durchmesser und einer Höhe von 2 m sowie ein Kegel mit einem Durchmesser von 3 m am Kegelfuß und einer Höhe bis zur Spitze von 3,5 m.

1. Volumen Zylinder:
V1 = G * hK
V1 = π * τ * hK
V1 = π* (1,5 m)2 * hK
V1 = 14,14 cm3

2. Volumen Kegel:
V2 = 1/3 * G * hK
V2 = 1/3 * π * r2 * hK
V2 = 1/3 * π *(1,5m)2 * hK
V2 = 8,25m3

3. Gesamtkörper:
V = V1 + V2
V = 14,14m3 + 8,25m3
V = 22,39m3

2. Weg

V = V1 + V2
V = G * hK + 1/3*G* hK
V = π * r2* hK + 1/3*π * r2* hK
V = π *(1,5m)2 * 2m + 1/3*π*(1,5)2*3,5m
V = 22,38m3

Mit diesen Formeln lassen sich auch Halbkugeln oder Kugeln berechnen.

Fragen und Aufgaben zu zusammengesetze Körper

  1. Wie groß ist das Gesamt-Volumen eines Zylinders mit 4 m Durchmesser und eine Höhe von 6 m sowie eines Kegels mit 4 m Durchmesser und 2 m Höhe?

    Antwort: 83,776 m3

  2. Erkläre den Satz des Pythagoras?

    Antwort: Sind a, b und c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei a und b die Längen der Katheten sind und c die Länge der Hypotenuse ist, so gilt a2 + b2= c2

  3. Welcher geometrische Körper besitzt nur eine Fläche?

    Antwort: Die Kugel

  4. Wie viel Kanten hat ein Würfel?

    Antwort: 12 Kanten

  5. Die beiden Strecken a und b bilden einen rechten Winkel. Wie wird dies bezeichnet?

    Antwort: a und b sind senkrecht zueinander


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