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Zentrische Streckung

In der Geometrie ist eine zentrische Streckung ein Abbild, das alle Linien in einem bestimmten Verhältnis vergrößert oder verkleinert, wobei die Linien des Bildes parallel zu den ursprünglichen Linien sind. Zentrische Streckungen sind besondere Ähnlichkeitsabbildungen, die in der synthetischen Geometrie Homothetien genannt werden.

Quelle: Elop using GeoGebra, CC BY-SA 3.0
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0, via Wikimedia Commons

Definition

Vorgegeben ist ein Punkt Z einer Zeichenebene oder eines Raumes sowie eine reelle Zahl k ≠ 0. Die zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) m ist diejenige Abbildung der Zeichenebene beziehungsweise des Raumes in sich, bei der der Bildpunkt P’ eines Punktes P folgende Eigenschaften besitzt:

Z, P und P’ liegen auf einer Geraden.
Für k > 0 liegen P und P’ auf derselben Seite von Z, für k < 0 auf verschiedenen Seiten.
Die Streckenlänge ZP’ ist gleich dem | k | -fachen der Streckenlänge ZP.

Konstruktion

Eine Strecke wird zentrisch um den Faktor k und das Zentrum Z gestreckt, indem man Hilfsgeraden durch das Zentrum Z und die Randpunkte der Strecke zeichnet, entlang dieser Hilfsgeraden die Entfernungen der Eckpunkte zum Zentrum misst, diese Entfernungen mit dem Faktor k multipliziert und den resultierenden Wert von Z aus auf die entsprechende Hilfsgerade abträgt (bei positivem k auf der Halbgeraden mit Endpunkt Z, auf der ebenso der ursprüngliche Punkt liegt), die neu eingezeichneten Punkte zur zentrisch gestreckten Strecke verbinden.

Diese Definition für Strecken überträgt sich unmittelbar auf Vielecke, die ja aus miteinander verbundenen Strecken bestehen (siehe etwa das im ersten Bild verlinkte Konstruktionsprotokoll). Sie überträgt sich auch auf beliebige geometrische Figuren, wo allerdings mitunter jeder einzelne Punkt in dieser Weise abgebildet werden müsste. Im Falle eines Kreises genügt es, den Kreismittelpunkt entsprechend abzubilden und den Radius des Bildkreises entsprechend anzupassen.

Ist der Streckfaktor negativ, so muss man die Bildpunkte im Abstand des Betrags von k auf der entsprechenden Hilfsgeraden zur bezogen auf Z gegenüberliegenden Seite einzeichnen (also auf die Halbgerade mit Endpunkt Z, auf der der ursprüngliche Punkt nicht liegt)

Allgemeine Begrifflichkeiten

• Eine zentrische Streckung stellt ein Beispiel für eine Dilatation dar. In der axiomatischen, affinen Geometrie wird der Begriff mithilfe einer Parallelität definiert.

• Zentrische Streckungen sind Spezialfälle von Drehstreckungen mit Drehwinkel 0.

• Statt des affinen 2- bzw. 3-dimensionalen Raumes über den reellen Zahlen, können zentrische Streckungen auch in jedem endlich dimensionalen affinen Raum über einem beliebigen Körper und selbst über einem beliebigen Schiefkörper definiert werden. Die „vektorielle“ Darstellung stellt sich hierbei als gleich wie im reellen Fall dar, jedoch bilden die Parallelverschiebungen, die gestreckt von einem Zentrum ausgehen, nur noch einen Linksvektorraum über dem Koordinatenschiefkörper.

• Im zweidimensionalen, im ebenen Fall wird noch allgemeiner selbst dann noch von einer zentrischen Streckung gesprochen, wenn die Parallelverschiebungen (die Vektoren der Koordinaten) einer ähnlichen Translationsebene über einem Quasi-Körper mittels eines „Skalar“ aus dem Kern des Quasikörpers gestreckt werden.

Bei den zwei zuletzt genannten Fällen kann nach allgemeinem Verständnis weder von Längen- noch von Winkelverhältnistreue gesprochen werden, da es weder ein Winkel- noch ein Längenmaß gibt. Aber auch hier sind die zentrischen Streckungen stets zu den Diletationen und Affinitäten zu zählen, wobei für Fixgerade und Fixpunkte das Gleiche wie im reellen Fall gilt.

Fragen und Aufgaben zur zentrischen Streckung

1. Nenne die geometrischen Abbildungen, die als Homothetien bezeichnet werden?

   Antwort:
   

   • Identische Abbildung
   • Translation
   • Zentrische Streckung

2. Was wird mit einer zentrischen Streckung erzeugt?

   Antwort: Eine verhältnismäßige Abbildung einer geometrischen Figur

3. Ist eine Zentrische Streckung eine maßstabsgetreue Abbildung?

   Antwort: Ja, eine zentrische Streckung ist eine maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung der originalen Figur.

4. Wie stellt sich mittels der Zentrischen Streckung die Längenberechnung anhand einer maßstabsgetreuen Karte im Maßstab 1 : 15000 dar?

   Antwort: Auf der Karte ist die gesuchte Strecke etwa 7 cm lang, daraus ergibt sich folgender Rechenweg:
   7 cm * 15000 = 105000 cm = 1,050 km.

5. Wenn ein dreidimensionaler Körper zeichnerisch mittels zentrischer Streckung verkleinert oder vergrößert wird, wie stellt sich dies in der Gleichung dar?

   Antwort: V‘/V = k³ oder V‘ = k³ * V

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