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Vierfeldertafeln

Innerhalb der Mathematik stellt sich die sogenannte Vierfeldertafel als ein Hilfsmittel der Stochastik dar. Sie dient dazu, Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen darzustellen. In ihr sind bisher nicht erkennbare Informationen, etwa in Bezug auf Wahrscheinlichkeiten oder zu absoluten Häufigkeiten, ablesbar. Zugleich dient die Vierfeldertafel dazu, Ereignisse auf ihre Unabhängigkeit voneinander festzustellen.

Erklärung zur Kennzeichnung von Zeilen und Spalten in der Vierfeldertafel:

A = Ereignis in der ersten Zeile
A = Gegenereignis in der zweiten Zeile

B = Ereignis in der ersten Spalte
B = Gegenereignis in der zweiten Spalte

	A	A
B
B

Diese Symbolanordnung ist sowohl für Wahrscheinlichkeiten als auch für absolute Häufigkeiten vorgegeben.

Beispiel 1: die Vierfeldertafel in Bezug auf Wahrscheinlichkeiten

Äußere Felder:

	A	A
B			P (B)
B			P (B)
	P (A)	P (A)	1

Die Felder der letzten Zeilen von A und A werden mit P für die Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Ebenso die letzten Spalten von B und B.

Da es sich um Ereignisse und Gegenereignisse in den Zeilen A und A sowie der Spalten B und B handelt, addiert sich ihre Wahrscheinlichkeit zu 1 (Feld rechts unten).

Innere vier Felder:

	A	A
B	P (A ∩ B)	P (A ∩ B)	P (B)
B	P (A ∩ B)	P (A ∩ B)	P (B)
	P (A)	P (A)	1

In den inneren Feldern werden die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen (Symbol ∩ für Durchschnittsmenge) in den Ereignissen festgehalten.

Sowohl in den Zeilen als auch in den Spalten sind in den jeweils letzten Feldern die Summe der anderen beiden Wahrscheinlichkeiten eingetragen:

Beispiel Zeile: P(B) = P(A∩B) + P(A∩B)

Beispiel Spalte: P(A) = P(A∩B) + P(A∩B)

Beispiel 2: die Vierfeldertafel in Bezug auf absolute Häufigkeiten

Äußere Felder:

	A	A
B			H (B)
B			H (B)
	H (A)	H (A)	G

Der Buchstabe H bezeichnet hier die absolute Häufigkeit. Der Buchstabe G in der rechten unteren Zeile bezeichnet die Gesamtzahl an untersuchten Objekten oder Versuchen.

Die absoluten Häufigkeiten von A und A in den Zeilen wie auch die absoluten Häufigkeiten von B und B in den Spalten sind zu G zu addieren.

Innere Felder:

	A	A
B	H (A ∩ B)	H (A ∩ B)	H (B)
B	H (A ∩ B)	H (A ∩ B)	H (B)
	H (A)	H (A)	G

Wie bei den Wahrscheinlichkeiten werden in den inneren vier Feldern die absoluten Häufigkeiten der Schnittmengen (Symbol ∩ für Durchschnittsmenge) in den Ereignissen festgehalten.

Sowohl in den Zeilen als auch in den Spalten sind in den jeweils letzten Feldern die Summe der anderen beiden absoluten Häufigkeiten eingetragen:

Beispiel Zeile: H(B) = H(A∩B)+H(A∩B)

Beispiel Spalte: H(A) = H(A∩B)+H(A∩B)

Fragen und Aufgaben zur Vierfeldertafel

1. Eine Schulklasse besteht aus 16 Jungen und 14 Mädchen, die alle an einem Mathematiktest teilnehmen. Von den 30 Teilnehmern bestehen 20 den Test. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler ein Mädchen ist und gleichzeitig den Test nicht bestanden hat?

   Antwort: Die beiden Ereignisse sind

   • J= "Schüler ist ein Junge"
   • B= "Test bestanden"

   mit Gegenereignissen

   • J= "Schüler ist nicht Junge" (Mädchen)
   • B= "Test nicht bestanden"

   Der Text erlaubt die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten P(J∩B), P (B), P (J) sowie P (B). Wie wahrscheinlich jedes Ereignis sein kann, bestimmt sich durch dessen relative Häufigkeit.

   Nun geht es an die Aufstellung der Vierfeldertafel: Zuerst die Eintragung der Wahrscheinlichkeiten, die sich aus dem Text ergeben.

   	J	J
   B	13/30		20/30
   B
   	16/30	14/30	1

   Dann geht es an die Eintragung der fehlenden Werte anhand der Eigenschaften und Rechenregeln.

   	J	J
   B	13/30	7/30	2/3
   B	1/10	7/30	1/3
   	8/15	7/15	1

   Der fehlende Wert in der zweiten Zeile wird wie folgt berechnet:
   20/30 – 13/30 = 7/30

   durch eine ähnliche Rechnung wird der Wert der dritten Zeile ermittelt.

   So ergibt sich die Wahrscheinlichkeit P, das es ein Mädchen ist, das den Test nicht bestanden hat aus
   = P (B∩J) = 7/30 (3. Zeile, 3. Spalte)

2. Wie würde sich die Vierfeldertafel gestalten, wenn es beim Mathetest der 30 Schüler bei gleicher Fragestellung um absolute Häufigkeiten ginge?

   Antwort:

   	J	J
   B	13	7	20
   B	3	7	10
   	16	14	30

   G = 30

3. Eine Hausfrau backt Plätzchen. Insgesamt sind es 80 Plätzchen, wovon 48 einen Überzug aus Schokolade besitzen, 20 sind mit Marmelade gefüllt. Von diesen 68 Plätzchen sind wiederum 12 sowohl mit Schokolade überzogen als auch mit Marmelade gefüllt. Wie sieht eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten zu dieser Aufgabe aus?

   Antwort: Zunächst müssen zwei Ereignisse festgelegt werden. Es gibt Plätzchen mit insgesamt 3 Eigenschaften. Mit Schokolade überzogen (48), mit Marmelade gefüllt (20), mit Schokolade und Marmelade (12).

   Unterschieden wird zwischen Plätzchen mit oder ohne Schokolade (S) sowie Plätzchen mit oder ohne Marmelade (M).

   S = mit Schokolade überzogen
   S = ohne Schokolade

   M = mit Marmelade gefüllt
   M = ohne Marmeladenfüllung

   Die Vierfeldertafel sieht dementsprechend zunächst so aus:

   	M	M
   S
   S
   			80

   Da die Gesamtmenge von 80 Plätzchen bekannt ist, wird bei Feld G entsprechend 80 eingetragen.

   Auch die weiteren bekannten Zahlen, die Schnittmenge der 12 Plätzchen mit beiden Eigenschaften sowie die mit Schokolade oder Marmelade lassen sich bei den Ereignissen vermerken.

   	M	M
   S	12		48
   S
   	20		80

   Nun fehlt noch der Wert aus dem Gegenereignis in der Zeile M. Errechnet wird dies mittels Umstellung aus: M = S – M bzw. M = 48 -12 = M = 36

   	M	M
   S	12	36	48
   S
   	20		80

   Praktischerweise lassen sich die weiteren Werte dort zuerst errechnen, wo bereits zwei Werte vorhanden, so etwa in Spalte M, wiederum durch Umstellung 20 – 12 = S = 8

   	M	M
   S	12	36	48
   S	8
   	20		80

   nun wird zuerst im äußeren Bereich der Vierfeldertafel weiter gerechnet, da hier wiederum bereits zwei Werte vorhanden sind:
   80 – 48 = S = 32

   	M	M
   S	12	36	48
   S	8		32
   	20		80

   So geht es auf der unteren Zeile weiter:
   80 – 20 = M = 60

   	M	M
   S	12	36	48
   S	8		32
   	20	60	80

   und zuletzt in Spalte M den Wert aus 60 – 36 = S = 24

   	M	M
   S	12	36	48
   S	8	24	32
   	20	60	80

   Prüfe zum Schluss die Werte auf Richtigkeit. Alle inneren Zahlen der Spalten Und Reihen müssen mit den Summen der äußeren Felder übereinstimmen.

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