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Trigonometrische Funktionen

Winkelfunktionen oder Trigonometrische Funktionen (eher selten auch Kreisfunktionen oder goniometrische Funktionen genannt) werden verwendet, um die Berechnungsbeziehung zwischen Winkel und Seitenverhältnis (ursprünglich für rechtwinklige Dreiecke) zu beschreiben. Eine Tabelle mit Verhältniswerten für bestimmte Winkel ermöglicht Berechnungen für Vermessungsaufgaben, bei denen Winkel und Seitenlängen in Dreiecken verwendet werden. Trigonometrische Funktionen sind auch Grundfunktionen, die periodische Prozesse in den Naturwissenschaften beschreiben.

Die als elementar bezeichneten trigonometrischen Funktionen sind:

Sinusfunktion abk: sin
Kosinusfunkttion abk. cos
Tangensfunktion abk. tan oder tg

Dazu gehören die Kehrwerte:

Kotangensfunktion als Kehrwert des Tangens abk. cot
Sekansfunktion als Kehrwert des Kosinus abk. sec
Kosekansfunktion als Kehrwert des Sinus abk. csc

Zwischen diesen Funktionen besteht eine enge Verbindung. Genau genommen reicht nur eine dieser Funktionen aus, um ein trigonometrisches Dreiecksproblem zu lösen. Die Verwendung mehrerer unterschiedlicher Funktionen kann jedoch Berechnungen und Formeln vereinfachen. Da cot (Kotangensfunktion) mit der Tangentenfunktion (tan) tabellarisch dargestellt werden kann, wird die Tangentenfunktion normalerweise in einer Tabelle mit dem Funktionswert einer trigonometrischen Funktion verwendet. In dieser Hinsicht ist die Bedeutung von cot größer als die von sec und csc. Es gibt andere Funktionen, die heute nicht üblich sind, wie B. sinus versus (versin), cosinus versus (coversin), exsecant (exsec) sowie excosecant (excsc).

Quelle: PaterSigmund (Original by Cweiske) -
http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:RechtwinkligesDreieck.svg, CC BY-SA 2.5,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4651092

Definition der trigonometrischen Funktionen

Im Ursprung waren die Winkelfunktionen als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken definiert und somit nur für Winkel ausgelegt, die sich zwischen 0 und 90 Grad bewegen.

Die Wahl des rechtwinkligen Dreiecks, das für die Berechnung verwendet wird, ist unabhängig von der Definition. Bei jedem rechtwinkligen Dreieck mit dem gleichen Winkel a ergeben sich Verhältnisse mit gleichen Werten.

Beispiel:

Eine Ankathete eines Winkels ist zugleich eine Gegenkathete eines anderen spitzen Winkels β in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Winkelsumme ist 180^° und da der rechte Winkel mit 90^° ein Teil der Winkelsumme ist, ergibt sich daraus:

β = 90° - a
cos = sin (90° - a)

Die Winkelfunktion kann jedoch auf größere Winkel als Sekanten- und Tangentensegmente auf dem Einheitskreis erweitert werden. Ausgehend vom Schnittpunkt eines Winkelschenkels und des Einheitskreises fällt die vertikale Linie auf zwei Koordinatenachsen und liefert den Sinus und den Cosinus des Winkels. Die Tangenten an den Punkten x = 1 und y = 1 schneiden auch den Schenkel und liefern dann die Tangente und den Kotangens, wenn sie auf die Achse projizieren. Die Schenkel müssen möglicherweise nach hinten verlängert werden, um den Schnittpunkt zu erreichen. Auf diese Weise kann der Wert der trigonometrischen Funktion jedem Winkel von 0 bis 360 Grad zugeordnet werden, was natürlich auch zu einer negativen Zahl werden kann. Die oben angegebenen Beziehungen sind weiterhin gültig. In der Analyse werden normalerweise Potenzreihen verwendet, um Sinus und Cosinus zu definieren, und der Winkel wird im Bogenmaß ausgedrückt.

Fragen und Aufgaben zu trigonometrische Funktionen

1. Nenne mindestens zwei Anwendungsgebiete für Sinus- und Kosinusfunktionen?

   Antwort:
   Geometrie
   Informatik
   Physik
   Elektrotechnik

2. In welchen praktischen Bereichen des Verkehrswesens (Vermessungswesen) finden Tangens und Kotangens ihre Anwendung?

   Antwort: Bei der Berechnung von Steigungswinkeln

3. Welche Funktion übernimmt der „Einheitskreis“ in der Trigonometrie?

   Antwort: Der Einheitskreis ist als Koordinatensystem eine grafische Unterstützung zur Berechnung von Winkeln, Geraden und Steigungen. Der Vorteil des Einheitskreises ist hierbei, dass er Berechnungen bis 360° erlaubt.

4. Was sagt der „Satz des Pythagoras“ aus?

   Antwort: Er besagt, dass die Summe der Flächeninhalte in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken der Kathetenquadrate dem Flächeninhalt des Hypotenusequadrats entspricht. Hierbei sind a und b die Längen am rechten Winkel, die Katheten, sowie c die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite, die Hypotenuse. Als Gleichung dargestellt:

   a² + b² = c²

5. Können trigonometrische Funktionen zur Berechnung von Kugeloberflächen verwendet werden?

   Antwort: Nein, denn bei kugelförmigen Objekten ist der Innenwinkelsatz nicht anwendbar.

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