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Trigonometrie

Der Begriff Trigonometrie ist zusammengesetzt aus dem griechischen Trigonon für Dreieck und Metron für Maß.

Die Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der die Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln von Dreiecken untersucht. Das Teilgebiet entstand in der hellenistischen Welt im 3. Jahrhundert v. Chr. aus Anwendungen der Geometrie auf astronomische Studien. Die Griechen konzentrierten sich auf die Berechnung von Längen, während Mathematiker in Indien die frühesten bekannten Wertetabellen für trigonometrische Verhältnisse (auch trigonometrische Funktionen genannt) wie Sinus erstellten. Im Laufe der Geschichte wurde die Trigonometrie in Bereichen wie Geodäsie, Vermessung, Himmelsmechanik und Navigation angewendet. Die trigonometrischen Varianten werden üblicherweise zum Umschreiben trigonometrischer Ausdrücke verwendet, um einen Ausdruck zu vereinfachen, eine nützlichere Form eines Ausdrucks zu finden oder eine Gleichung zu lösen.

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In diesem Dreieck bezeichnen die Großbuchstaben die Scheitelpunkte des Dreiecks und das Maß des entsprechenden Winkels 90 Grad. Die Kleinbuchstaben bezeichnen die Kanten des Dreiecks und deren jeweilige Länge. Bei einem spitzen Winkel A eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hypotenuse h die Seite, die die beiden spitzen Winkel verbindet. Die Seiten b und a sind die Seiten des Dreiecks, die A und B mit dem rechten Winkel C verbinden, sie werden Katheten genannt. Die Seite a soll b entgegengesetzt sein. Wenn der Winkel angegeben ist, sind alle Seiten des rechtwinkligen Dreiecks bis zu einem Skalierungsfaktor definiert. Somit definieren die sechs Verhältnisse die sechs Funktionen in der Trigonometrie.

Die bisher verwendeten Definitionen lassen sich nur für Winkel unter 90° verwendet. Für viele andere Zwecke sind jedoch die trigonometrischen Werte größerer Winkel interessant. So etwa der Einheitskreis, ein Kreis mit Radius 1, ermöglicht eine solche Erweiterung der vorherigen Definition. Der entsprechende Punkt auf dem Einheitskreis wird für den gegebenen Winkel bestimmt. Die x-Koordinate dieses Punktes ist der Kosinuswert des gegebenen Winkels, die y-Koordinate ist der Sinuswert. Die oben angegebene Definition von Sinus- und Kosinuswerten anhand der x- und y-Koordinaten kann leicht auf Winkel von mehr als 90° erweitert werden. Es ist ersichtlich, dass für Winkel zwischen 90° und 270° die x-Koordinate und damit auch der Kosinus negativ sind, entsprechend für Winkel zwischen 180° und 360° die y-Koordinate und damit auch der Sinus. Die Definition kann auch leicht auf Winkel größer als 360° und negative Winkel übertragen werden. Zu beachten ist, dass beim modernen Ansatz die Beziehung zwischen dem Winkel und dem Sinus oder Kosinus verwendet wird, um den Winkel zu definieren. Die Sinus- und Kosinusfunktionen selbst werden durch ihre serielle Darstellung eingeführt.

Geschichte der Trigonometrie

Die sumerischen Astronomen untersuchten das Winkelmaß anhand einer Teilung der Kreise in 360 Grad. Sie und später die Babylonier untersuchten die Verhältnisse der Seiten ähnlicher Dreiecke und entdeckten einige Eigenschaften dieser Verhältnisse, machten dies jedoch nicht zu einer systematischen Methode zum Auffinden von Seiten und Winkeln von Dreiecken. Die alten Nubier verwendeten eine ähnliche Methode. Im 3. Jahrhundert v. Chr. untersuchten hellenistische Mathematiker wie Euklid und Archimedes die Eigenschaften von Winkeln in Kreisen und bewiesen Theoreme, die modernen trigonometrischen Formeln entsprechen, obwohl sie sie eher geometrisch als algebraisch darstellten. 140 v. Chr. erstellte Hipparchus (aus Nicäa, Kleinasien) die ersten Umrechnungstabellen mit sogenannten Sehnenlängen analog zu modernen Sinustabellen und verwendete sie zur Lösung von Problemen in der Trigonometrie und der sphärischen Trigonometrie. Im 2. Jahrhundert n. Chr. konstruierte der griechisch-ägyptische Astronom Ptolemäus (aus Alexandria, Ägypten) in Buch 1, Kapitel 11 seines Almagest detaillierte trigonometrische Tabellen (Ptolemäus-Sehnentabelle). Ptolemaios verwendete die Sehnenlänge, um seine trigonometrischen Funktionen zu definieren, ein geringfügiger Unterschied zu der Sinuskonvention, die wir heute verwenden. Der Wert, den wir Sinus nennen, kann ermittelt werden, indem die Sehnenlänge für den doppelten Winkel in Ptolemäus 'Tabelle nachgeschlagen und dieser Wert dann durch zwei geteilt wird. Jahrhunderte vergingen, bevor detailliertere Tabellen erstellt wurden, und die Abhandlung von Ptolemäus wurde während der nächsten 1200 Jahre in der mittelalterlichen byzantinischen, islamischen und später westeuropäischen Welt für trigonometrische Berechnungen in der Astronomie verwendet.

Fragen und Aufgaben zur Trigonometrie

1. Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind zwei Größen gegeben, eine Größe wird gesucht. Mit welcher Formel kann die gesuchte Größe berechnet werden?

   Antwort: sin(Winkel) = Gegenkathete / Hypotenuse

2. Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind gegeben:
   Länge b = 2,53 cm
   Länge c= 3,88 cm
   Berechnet werden sollen die Winkel α, β sowie die Länge a

   Antwort:
   α = 49,30°
   β= 40,70°
   a = √ (c² – b²) = 2,94

3. Für einen Quader sind bekannt:
   Länge a = 8,5 cm
   Länge b = 4,2 cm
   Länge c= 5,9 cm
   Wie groß sind die Winkel zwischen den Flächendiagonalen und den Kanten?

   Antwort: f² = a² + b² also f² = 89,89 also f=9,48
   Winkel α zwischen f und a cos(α) = a/f = 8,5 / 9,48 =0,8965
   also α =26,3°

4. Wie heißen die sechs trigonometrischen Funktionen?

   Antwort: Sinus
   Kosinus
   Tangens
   Kotangens
   Secans
   Kosecans

5. Welche Rolle spielt die Trigonometrie in der Physik?

   Antwort: Mittels der Sinus- und Kosinusfunktion lassen sich Wellen und Schwingungen mathematisch beschreiben. Ebenso der in der Wechselstromtechnik die zeitlichen Verläufe elektrischer Stromstärke und Spannung.

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