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Trigonometrie (Fortgeschrittene)

Die Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie und befasst sich mit Größenberechnungen von Dreiecken. Bei trigonometrischen Berechnungen werden aus drei Größen eines gegebenen Dreiecks, z.B. Winkelgröße oder Seitenlänge, andere Parameter des Dreiecks berechnet. Als Hilfsmittel werden die trigonometrischen Funktionen Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tan), Kotangens (cot), Sekans (sec) und Kosekans (csc) verwendet.

Fragen zur Trigonometrie

1. Um trigonometrische Berechnungen durchzuführen, ist es wichtig die Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zuordnen zu können. Was versteht man in diesem Zusammenhang unter einer Hypotenuse?

   Die Winkelsumme eines rechtwinkligen Dreiecks ist immer 180°. Der rechte Winkel eines solchen Dreiecks ist der größte Innenwinkel, ihm liegt die längste Seite gegenüber. Diese Seite wird als Hypotenuse bezeichnet. Die beiden kürzeren Seiten des Dreiecks nennt man Katheten.

2. Es sind folgende Werte eines Dreiecks ABC gegeben: die Seitenlänge b, der Winkel a und der Winkel ?. Mit welcher Definitionsgleichung kann die Seitenlänge c berechnet werden?

   Um die Seitenlänge c zu berechnen muss die Definitionsgleichung des Kosinus angewendet werden. Diese lautet: Kosinus von α= b/c, oder in andere Worten der Kosinus von a = Ankathete/Hypotenuse.

3. Welche Größen müssen in einem Dreieck ABC gegeben sein, um die Definitionsgleichung des Sinus anwenden zu können?

   Um die Definitionsgleichung des Sinus anwenden zu können müssen zwei der folgenden Größen bekannt sein: der Winkel a, die Gegenkathete (a) und/oder die Hypotenuse (c). Die Definitionsgleichung des Sinus selbst lautet: Sinus a= Gegenkathete (a)/ die Hypotenuse (c).

4. Wie viele trigonometrische Funktionen gibt es, die zur Berechnung von Dreiecken angewendet werden können?

   Es gibt 6 trigonometrische Funktionen, auch Definitionsgleichungen genannt. Diese Funktionen sind: Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tan), Kotangens (cot), Sekans (sec) und Kosekans (csc).

5. Wann wird ein Einheitskreis in der Trigonometrie eingesetzt?

   Der Einheitskreis wird als Hilfsmittel verwendet, wenn in der Trigonometrie Winkel größer 90° berechnet werden sollen. Der Einheitskreis, ist ein Kreis mit Radius 1. Zum gegebenen Winkel wird der entsprechende Punkt auf dem Einheitskreis bestimmt. Die x-Koordinate dieses Punkts ist der Kosinuswert des gegebenen Winkels, die y-Koordinate der Sinuswert.

6. Wenn ein Einheitskreis zur trigonometrischen Berechnung eingesetzt wird, wie sieht der Kosinus für Winkel zwischen 90° und 270° aus?

   Für Winkel zwischen 90° und 270° ist die x-Koordinate des Einheitskreises und damit auch der Kosinus negativ ist. Hingegen für Winkel zwischen 180° und 360° ist die y-Koordinate und somit auch der Sinus negativ.

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