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Schlussrechnung

Der Begriff Schlussrechnung bezeichnet in der Mathematik ein Verfahren, um aus zwei oder drei gegebenen Werten eines Verhältnisses den unbekannten dritten beziehungsweise vierten Wert zu errechnen. Es ist ein Verfahren zur Lösung proportionaler Aufgaben.

Was bedeutet „proportionale Aufgaben“?

Grundlagen für proportionale Aufgaben sind definierte Werte oder Faktoren (Proportionalitätsfaktoren), die in einem Verhältnis oder einer Beziehung zueinander stehen.

Daraus ergeben sich wiederum verschiedene Wege, um eine Lösung zu erreichen, welche sich in folgende Bezeichnungen unterteilen:

Direkte Proportionalität
Direkte Schlussrechnung mit direktem Proportionalitätsfaktor

Indirekte Proportionalität
Indirekte Schlussrechnung mit indirektem Proportionalitätsfaktor

Keine Proportionalität
Eine direkte Proportionalität kann mithilfe des Proportionalitätsfaktors berechnet werden. Die Formel dazu lautet:

x → y
daraus folgt: x → k*x

x = Ausgangswert
y = zugeordneter Wert
k = Proportionalitätsfaktor

Es gibt zwei Möglichkeiten in einer direkten Proportionalität:

Möglichkeit 1: Je mehr, desto mehr
Möglichkeit 2: Je weniger, desto weniger

Beispiel für Möglichkeit 1:
Wenn 6 kg Äpfel 12 Euro kosten, müssen 8 kg Äpfel mehr kosten
6 zu 12 = 8 zu x
6 / 12 = 8 / x
6x = 8 * 12
x = 8 * 2 = 16
Lösung: 8kg Äpfel kosten 16 Euro

Beispiel für Möglichkeit 2:
Wenn 8 kg Äpfel 16 Euro kosten, müssen 4 kg Äpfel weniger kosten
8 zu 16 = 4 zu x
8 / 16 = 4 / x
8x = 4 * 16
x = 4 * 2 = 8
Lösung: 4kg Äpfel kosten 8 Euro

Bei der indirekten Proportionalität gibt es wiederum zwei Möglichkeiten:
Möglichkeit 1: Je mehr, desto weniger
Möglichkeit 2: Je weniger, desto mehr
Die Formel dazu lautet:
y = k * 1 / x

Beispiel für Möglichkeit 1:
10 Arbeiter benötigen 40 Tage, wie lange brauchen 20 Arbeiter für die gleiche Tätigkeit?
Berechnung: 40*10 = 400/20 = 20

Im Detail: 40 Tage multipliziert mal 10 Arbeiter ergibt 400 Tage geteilt durch 20 Arbeiter ergibt 20 Tage.

Beispiel für Möglichkeit 2:
16 Arbeiter benötigen 8 Tage, wie lange brauchen 8 Arbeiter für die gleiche Tätigkeit?
Berechnung: 8 / 16 = 2 * 8 = 16

Im Detail: 8 Arbeiter dividiert durch 8 Tage ergibt 1, diese 1 multipliziert mit 16 Arbeitern ergibt 16 Tage. Die Arbeitszeit verdoppelt sich.

Fragen und Aufgaben zur Schlussrechnung

1. 130 Gramm Käse kosten 0,40 Euro.
Wie viel kostet dann 1 kg desselben Käses?
2. Ist diese Schlussrechnung direkt oder indirekt?

Antwort: 1. Es ist ein direktes Verhältnis
Mehr Gramm, mehr Euro

2. Schlussansatz
Vorberechnung
1 kg = 1000 g
130 g = 0,40 Euro
1000 g = x Euro

3. Rechnung
x = 0,40 * 1000 / 130
x = 3,08 Euro

4. Antwort
1 kg dieses Käse kostet 3,08 Euro
Wenn sich ein großes Zahnrad 43 mal dreht, dann dreht sich ein kleines Zahnrad 148 mal.
Wenn sich das kleines Zahnrad 1324 mal dreht, wie oft dreht sich dann das große Zahnrad?

Antwort: 1. Schritt: Wir bestimmen den Schluss
je mehr Umdrehungen klein, desto mehr Umdrehungen groß
direktes Verhältnis!

2. Schritt: Schlussansatz
148 mal klein = 43 mal groß
1324 mal klein = x mal groß

3. Schritt: Rechnung
x = 43 * 1 324 : 148
x = 385 mal

4. Schritt: Antwortsatz
Das große Zahnrad dreht sich dann 385 mal.
Herr Maier braucht für seinen Arbeitsweg mit dem Pkw 15 Minuten, wenn er mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h fährt.
Fragestellung: Wie lange würde er für die gleiche Strecke brauchen, wenn er mit einer Geschwindigkeit von 100 km/h fahren würde?

Antwort:
Indirektes Verhältnis
1. Schritt: Ermittlung des Verhältnisses
Schluss: je mehr km/h, desto weniger Minuten!
indirektes Verhältnis!

2. Schritt: Berechnung
80 km/h = 15 Minuten
100 km/h = x Minuten
Rechnung:
x = 15 * 80 : 100
x = 12 Minuten

3. Schritt: Antwortsatz
Bei einer Geschwindigkeit von 100 km/h würde er 12 Minuten brauchen.
Wenn man täglich 100 € ausgibt, so kommt man mit dem Urlaubsgeld 12 Tage aus. Wie lange würde man mit dem Geld auskommen, wenn man am Tag 20 € weniger ausgeben würde?

Antwort: 1. Schritt: Ermittlung des Verhältnisses
Schluss: je weniger Geld ausgeben desto mehr Tage!
indirektes Verhältnis!

2. Schritt: Berechnung
Vorberechnung:
100 € - 20 € = 80 €

Schlussansatz:
100 € = 12 Tage
80 € = x Tage

Rechnung:
x = 12 * 100 : 80
x = 15 Tage

3. Schritt: Antwortsatz
Man würde mit dem Geld jetzt 15 Tage auskommen.
Mit 3 Rohren dauert die Füllung eines Wasserbeckens 4 Stunden Wie lange würde die Füllung des Wasserbeckens dauern, wenn von Beginn an 1 zusätzliches Rohr eingesetzt würde?

Antwort: 1. Schritt: Ermittlung des Verhältnisses
Schluss: je mehr Rohre desto weniger Zeit!
indirektes Verhältnis!

2. Schritt: Berechnung
Vorberechnung:
4 Std = 240 min
Schlussansatz:
3 Rohre = 240 min
4 Rohre = x min

Rechnung:
x = 240 * 3 : 4
x = 180 min
3 Std

3. Schritt: Antwortsatz
Die Füllung würde dann 3 Stunden dauern.

Schlussrechnung

Fragen und Aufgaben zur Schlussrechnung

1. 130 Gramm Käse kosten 0,40 Euro. Wie viel kostet dann 1 kg desselben Käses? 2. Ist diese Schlussrechnung direkt oder indirekt?

Wenn sich ein großes Zahnrad 43 mal dreht, dann dreht sich ein kleines Zahnrad 148 mal. Wenn sich das kleines Zahnrad 1324 mal dreht, wie oft dreht sich dann das große Zahnrad?

Herr Maier braucht für seinen Arbeitsweg mit dem Pkw 15 Minuten, wenn er mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h fährt. Fragestellung: Wie lange würde er für die gleiche Strecke brauchen, wenn er mit einer Geschwindigkeit von 100 km/h fahren würde?

Wenn man täglich 100 € ausgibt, so kommt man mit dem Urlaubsgeld 12 Tage aus. Wie lange würde man mit dem Geld auskommen, wenn man am Tag 20 € weniger ausgeben würde?

Mit 3 Rohren dauert die Füllung eines Wasserbeckens 4 Stunden Wie lange würde die Füllung des Wasserbeckens dauern, wenn von Beginn an 1 zusätzliches Rohr eingesetzt würde?

1. 130 Gramm Käse kosten 0,40 Euro.
Wie viel kostet dann 1 kg desselben Käses?
2. Ist diese Schlussrechnung direkt oder indirekt?

Wenn sich ein großes Zahnrad 43 mal dreht, dann dreht sich ein kleines Zahnrad 148 mal.
Wenn sich das kleines Zahnrad 1324 mal dreht, wie oft dreht sich dann das große Zahnrad?

Herr Maier braucht für seinen Arbeitsweg mit dem Pkw 15 Minuten, wenn er mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h fährt.
Fragestellung: Wie lange würde er für die gleiche Strecke brauchen, wenn er mit einer Geschwindigkeit von 100 km/h fahren würde?