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Quadratische Gleichungen

Unter einer quadratische Gleichung versteht man eine Gleichung zweiten Grades, die sich dadurch auszeichnet, dass die Variable x in keiner höheren als der zweiten Potenz vorkommt. Um quadratische Gleichungen lösen zu können, gibt es verschiedene Verfahren.

Fragen zur Mathematik: Quadratische Gleichungen

1. In welche Form lässt sich jede quadratische Gleichung überführen?

   Durch äquivalente Umformungen kann jede quadratische Gleichung in die folgende Form überführt werden: ax² + bx + c = 0

2. Welche Lösungsverfahren werden am häufigsten zur Lösung von quadratischen Gleichungen angewendet?

   Es gibt drei Verfahren zum Lösen quadratischer Gleichungen, die in fast allen Fällen zur Anwendung kommen. Dies sind:
   1. Die Mitternachtsformel (auch „abc-Formel“ genannt)
   2. Die pq-Formel
   3. Der Satz von Vieta

3. Wie muss eine quadratische Gleichung – unabhängig von gewählten Lösungsverfahren – zunächst behandelt werden?

   Unabhängig davon, welches Verfahren zur Lösung einer quadratischen Gleichung verwendet wird, muss die Gleichung zunächst mit Hilfe äquivalenter Umformungen in die allgemeine Form gebracht werden.

4. Was sind reinquadratische Gleichungen?

   Als reinquadratische Gleichungen bezeichnet man Gleichungen, die sich auf die Form x² = c bringen lassen. Diese Gleichungen können gelöst werden, indem man die Wurzel zieht.

5. Wie kann eine quadratische Gleichung gelöst werden, die ein Binom enthält?

   Quadratische Gleichungen, die in der Form (ax + b²) = c vorliegen, werden gelöst, indem zuerst die Wurzel gezogen und dann nach x aufgelöst wird.

6. Wie können quadratische Gleichungen ohne Absolutglied gelöst werden?

   Quadratische Gleichungen ohne Absolutglied, können gelöst werden, indem man x ausklammerst. Dabei gilt: Ein Produkt ist null, sofern mindestens einer der Faktoren gleich null ist.

7. Warum kann der Koeffizient a bei einer quadratischen Gleichung nicht Null sein?

   Bei einer quadratischen Gleichung darf der Koeffizient a nicht gleich Null sein, andernfalls würde der erste Summand zu Null, somit würde nur eine lineare Gleichung vorliegen.

8. Wie sieht die Struktur aus, um eine quadratische Gleichung mittels der pq-Formel zu lösen?

   Die Lösung einer quadratischen Gleichung mithilfe der pq-Formel wird nach folgendem Muster vorgenommen:
   1. Die Gleichung in die Form x² + px + q = 0 bringen.
   2. "p" und "q" herausfinden.
   3. Die Werte in die PQ-Formel einsetzen.
   4. Die Lösung damit berechnen.

9. Wann hat eine quadratische Gleichung keine Lösung?

   Werden bei einer quadratischen Gleichung die Zahlen unter der Wurzel berechnet und es ergibt sich eine negative Zahl, hat die Gleichung keine Lösung im Sinne der reellen Zahlen.

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