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Pfadregeln

Die Pfadregeln sind ein Bestandteil der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie der mathematischen Statistik, die wiederum im Bereich der Stochastik als Teilgebiet der Mathematik eingeordnet sind.

Pfadregeln erlauben es, innerhalb mehrstufiger Zufallsversuche die Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen oder Ereignissen zu berechnen. Dazu kommen als Hilfsmittel Baumdiagramme zum Einsatz.

Beispiel: In eine Urne werden zwei weiße und fünf blaue Kugeln gelegt. Nun werden nacheinander drei Kugeln blind aus der Urne gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen. In diesem Versuch werden zwei Wahrscheinlichkeiten ermittelt:

A) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei blaue Kugeln gezogen werden?
B) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den drei gezogenen Kugeln eine Weiße befindet?

Das dazugehörige Baumdiagramm sieht so aus:

Baumdiagramm für einen Zufallsversuch mit drei Stufen

1. Pfadregel:

In einem mehrstufigen Vorgang ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeit entlang des Pfades, dem das Ergebnis entspricht.

Diese Pfadregel wird angewendet, wenn Wahrscheinlichkeiten mit dem Wort „und“ verknüpft werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine blaue Kugel „und“ noch eine blaue Kugel „und“ eine weitere blaue Kugel gezogen werden.

Mithilfe dieser Regel ist die Lösung der Teilaufgabe A) möglich:
P = (5/7) * (4/6) * (3/5) = (60/210) = (2/7)

Die Wahrscheinlichkeit, dass also drei blaue Kugeln gezogen werden, liegt bei drei Versuchen bei 2 zu 7, ist also eher unwahrscheinlich.

2. Pfadregel:

In einem mehrstufigen Vorgang ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der für das Ereignis günstigen Pfade.

In dieser Pfadregel werden die Wahrscheinlichkeiten mit dem Wort „oder“ verknüpft. Es wird folglich die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass eine blaue „oder“ eine weiße Kugel gezogen wird.

Das erlaubt die Lösung der Teilaufgabe B)
P = (5/7) * (4/6) * (2/5) + (5/7) * (2/6) * (4/5) + (2/7) * (5/6) * (4/5) = (4/7)
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den drei gezogenen Kugeln eine weiße Kugel ist, liegt bei 4 zu 7, ist folglich wesentlich wahrscheinlicher.

Mitunter erleichtert die Darstellung der Lösung in Prozentzahlen die Übersichtlichkeit:

A) 7 = 100 % geteilt durch 100 = 0,07 geteilt durch 2 = 28,57 %
B) 7 = 100 % geteilt durch 100 = 0,07 geteilt durch 4 = 57,14 %

Fragen und Aufgaben zu Pfadregeln

1. Drei Männer und vier Frauen befinden sich in einem Warteraum. Alle 7 Personen haben bei ihrer Ankunft eine Nummer gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass als nächstes eine Frau und danach ein Mann aufgerufen werden? Es kommen keine weiteren Personen hinzu.

   Antwort: Vier der sieben Personen sind weiblich. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau zuerst aufgerufen wird, liegt bei 4/7 oder bei 57,14 %. Nun sind noch sechs Personen anwesend, drei männlich, drei weiblich, also liegt die Wahrscheinlichkeit, das ein Mann aufgerufen wird, bei 3/6 (1/2) oder bei 50 %.

   P = 4/7 x 1/2 = 4/14 = 2/7 oder 28,57 %

2. Fünf Kinder stehen in einer Reihe, drei Jungen und zwei Mädchen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie in folgender Aufstellung dastehen: J – M- J – M – J ?

   Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Kind in der Reihe ein Junge ist, liegt bei 3/5, danach sinkt sie auf 2/4, 2/3, 1/2 und 1/1.

   P= 3/5 * 2/4 * 2/3 * 1/2 * 1/1 = 10 %

3. Zwei Würfel werden geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem einen Wurf bei beiden Würfeln die 6 oben liegt?

   Antwort: 1/6 * 1/6 = 1/36 entspricht 2,78 %

4. Drei Glücksräder mit jeweils den Zahlen 1 bis 9 darauf. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf allen drei Glücksrädern die Zahl 3 oben steht, wenn sie zum Stillstand gekommen sind?

   Antwort: P= 1/9 * 1/9 * 1/9 = 1/729 oder 0,14 %

5. In einer Urne befinden sich 3 schwarze und 5 weiße Kugeln. Es werden nun zwei Kugeln nacheinander ohne zurücklegen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal eine schwarze Kugel gezogen wird?

   Antwort: P= 3/8 * 3/8 = 9/64 entspricht 14,1 %

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