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Matrizen
Die Matrix, im Plural Matrizen, ist in der Mathematik eine Anordnung von Elementen in einer rechteckigen Form. Mit diesen Elementen, in der Regel mathematische Objekte, können durch addieren oder multiplizieren der Matrizen Rechenschritte vollzogen werden.
Der britische Mathematiker James Joseph Silvester ( geb. 1814, gest. 1897) entwickelte die Theorie von den Matrizen und führte im Jahr 1850 den Begriff der Matrix ein.
Matrizen sind ein Schlüsselbegriff der linearen Algebra und kommen in fast allen Bereichen der Mathematik vor. Sie zeigen anschaulich, in welchen Zusammenhängen Linearkombinationen eine Rolle spielen und erleichtern so Rechen- und Denkprozesse. Sie werden unter anderem verwendet, lineare Bilder darzustellen und lineare Gleichungssysteme (LGS) zu lösen oder zu beschreiben.
Benennung von Matrizen
Die Anordnung der Elemente oder der mathematischen Objekte in einer Matrix erfolgt in der Regel in Spalten und Zeilen. Sie sind von runden oder auch eckigen Klammern eingefasst.
Beispiel:
Die Bezeichnung der Matrizen erfolgt meist mit einem Großbuchstaben.
Die Elemente der Matrix werden auch als Einträge oder Komponenten bezeichnet. Sie entstammen der oder einer Menge K, normalerweise einem Ring oder einem Körper. Wir sprechen von einer Matrix K. Wenn wir die Menge der reellen Zahlen K wählen, reden wir von einer reellen Matrix, für die Wahl komplexer Zahlen wird von einer komplexen Matrix gesprochen.
Ein bestimmtes Element oder mathematisches Objekt wird durch zwei Indizes beschrieben. Normalerweise wird das Element in der ersten Zeile und ersten Spalte durch a11 beschrieben. Im Allgemeinen repräsentiert aij das Element in der i-ten Zeile sowie der j-ten Spalte. In der Indizierung wird immer zuerst der Zeilenindex und dann den Spaltenindex des Elements genannt. Denken Sie an die Regel: Gehen Sie zuerst in die Zeile, dann in die Spalte. Bei Verwechslungsgefahr trennen Sie die beiden Indizes durch ein Komma. Zum Beispiel ist das Matrixelement in der ersten Zeile und der elften Spalte mit a 1, 11 beschriftet. Einzelne Zeilen wie auch Spalten werden meist als Spalten- bzw. Zeilenvektoren benannt.
Addition oder Subtraktion von Matrizen
Nur wenn zwei Matrizen vom selben Typ sind, können sie miteinander addiert oder subtrahiert werden. Vom selben Typ bedeutet, dass sie die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten aufweisen.
Multiplikation von Matrizen
die Multiplikation von Matrizen ist dann möglich, wenn die linke Matrix die gleiche Spaltenzahl aufweist wie die rechte Matrix an Zeilen.
Mit einer Matrix sind weitere Rechenoperationen möglich, so etwa die Skalarmultiplikation (die Multiplikation mit einer reellen Zahl), die transponierte Matrix, die inverse Matrix oder Vektor-Vektor-Produkte und viele weitere Formen der Matrix. Die häufigsten Anwendungsbereiche für Matrizen liegen jedoch in der Addition und der Multiplikation.
Beispiel Addition zweier Matrizen:
Beispiel Multiplikation zweier Matrizen:
Anwendungsbereiche:
Vielen Menschen ist der Begriff Matrix hauptsächlich aus der gleichnamigen Filmserie bekannt und tatsächlich basieren im Computer generierte Welten auf einer Vielzahl von Matrizen, die mittels Algorithmen gesteuert werden. Ähnlich verhält es sich mit Rechen- und Grafiksoftware.
Fragen und Aufgaben zu Matrizen
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Multipliziere folgende Matrizen
Antwort:
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Frage: Addiere folgende Matrizen
Antwort:
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Frage:Subtrahiere folgende Matrizen
Antwort:
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