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Lösungsmenge

Die Lösungsmenge kennzeichnet in der Mathematik die Menge aller möglichen Lösungen einer Gleichung oder Ungleichung. Auch bei Systemen aus mehreren Gleichungen bzw. Ungleichungen oder bei logischen Aussagen allgemein spricht man von einer Lösungsmenge.

Fragen zur Mathematik: Lösungsmenge

1. Was ist die Lösungsmenge genau und mit welchem Buchstaben bezeichnet man sie?

   Die Lösungsmenge wird mit dem Buchstaben |L| bezeichnet. Dabei gilt: Man betrachtet eine Menge von Aussagen mit Parametern (Variablen oder Unbekannte genannt). Dabei kann es sich zum Beispiel um Gleichungen, Gleichungssysteme oder auch Ungleichungen handeln. Die Lösungsmenge kennzeichnet die Menge der Belegungen solcher Variablen.

2. In welchem Fall ist eine Lösungsmenge leer?

   Wenn Aussagen sich als unerfüllbar erweisen, gilt: |L|=0. Somit ist die Lösungsmenge leer.

3. Welche Lösungsmenge ergibt sich, wenn die Aussage L > 1 lautet?

   Wenn die Lösungsmenge größer als 1 ist, gibt es mehrere Lösungen, möglicherweise sogar unendlich viele. Diesbezüglich gilt: Die Aussagen sind erfüllbar, aber nicht eindeutig. Also besteht die Lösungsmenge aus mehr als einem Element.

4. Welche Lösungsmenge ergibt sich, wenn eine Aussage eindeutig erfüllbar ist?

   In diesem Fall gibt es genau eine Lösung, d. h. die Aussagen sind eindeutig erfüllbar und die Lösungsmenge besteht aus genau einem Element.

5. Von welchen grundsätzlichen Faktoren hängt die Lösungsmenge ab?

   Grundsätzlich hängt die Lösungsmenge sowohl von der Aussagenmenge selbst als auch vom Definitionsbereich der verschiedenen Variablen ab.

6. Was ist der Lösungsraum?

   Da die Lösungsmenge eines homogenen oder auch inhomogenen linearen Gleichungssystems immer einen Vektorraum darstellt, spricht man hierbei auch von einem Lösungsraum.

7. Welche Merkmale zeigt die Lösungsmenge einer linearen Gleichung?

   Als Lösungsmenge einer linearen Gleichung ergibt sich eine Geradengleichung. Das heißt, alle möglichen Lösungen liegen auf der ausgerechneten Gerade.

8. Wann spricht man auch von einer Erfüllungsmenge?

   Man bezeichnet die Lösungsmenge einer Gleichung ist ihre Erfüllungsmenge. Diese Erfüllungsmenge besteht wiederum aus den Elementen der Grundmenge. Werden sie in eine Gleichung eingesetzt, führen sie zu einer wahren Aussage.

9. Welche Umformung einer Gleichung kann vorgenommen werden, ohne die Lösungsmenge zu verändern?

   Durch Äquivalenzumformungen können Ungleichungen verändert werden, ohne deren Lösungsmenge zu verfälschen. Die Variable wird durch diese Umformungen quasi isoliert, so dass die Ungleichung nach der Variablen „aufgelöst“ werden kann.

10. Was ist der Unterschied zwischen der Lösungsmenge und der Definitionsmenge?

    Lösungsmengen werden bei Gleichungen und Ungleichungen gesucht. Sie stellen die Teilmengen der Definitionsmenge dar, welche Gleichungen und Ungleichungen zu wahren Aussagen machen.

11. Wie unterscheidet sich die Lösungsmenge von der Grundmenge?

    Die Grundmenge ist die Menge der Zahlen, deren Elemente für die Variablen eingesetzt werden können.

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