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Kombinatorik

Als Teildisziplin der Mathematik befasst sich die Kombinatorik mit endlichen oder abzählbar unendlichen diskreten Strukturen. Sie wird deshalb auch diskrete Mathematik genannt bzw. dieser als Oberbegriff zugerechnet.

Quizfragen zur Kombinatorik

1. Was sind die bekanntesten Beispiele für das Fachgebiet der Kombinatorik?

   Sehr bekannte Beispiele aus dem Gebiet der Kombinatorik sind Graphen, teilgeordnete Mengen, Matroide, Parkettierungen, kombinatorische Designs, lateinische Quadrate, Partitionen sowie Permutationen von Objekten.

2. Wie lautet die Definition der Kombinatorik von George Pólya?

   George Pólya bezeichnet die Kombinatorik in seiner Definition als Untersuchung des Abzählens, der Existenz und der Konstruktion von Konfigurationen.

3. Wie heißen die Teildisziplinen der Kombinatorik?

   Man unterscheidet in der Kombinatorik zwischen verschiedenen Teildisziplinen. Diese sind: Die algebraische Kombinatorik, die analytische Kombinatorik, die geometrische und topologische Kombinatorik, die probabilistische Kombinatorik, die kombinatorische Spieltheorie und die Ramseytheorie. Zusätzlich gibt es noch das Teilgebiet der kombinatorischen Optimierung, das sich speziell mit der Optimierung diskreter Strukturen beschäftigt.

4. Woraus entstand das Fachgebiet der Kombinatorik?

   Urlaub entstand die Kombinatorik aus Abzählproblemen von diskreten Strukturen. Diese traten z. B. im 17. Jahrhundert bei der Wahrscheinlichkeitsanalyse von Glücksspielen auf. Einer der Vorreiter war hier Blaise Pascal. Diesen Bereich der Kombinatorik bezeichnet man heute als abzählende Kombinatorik. Allerdings entstanden zusammenfassende Theorien aller Teilgebiete der Kombinatorik erst im 20. Jahrhundert, etwa von Gian-Carlo Rota oder Richard P. Stanley.

5. In welchen anderen Fachgebieten der Mathematik kommt die Kombinatorik zum Einsatz?

   Die Kombinatorik kommt in zahlreichen anderen Gebieten der Mathematik zur Anwendung, z. B. in der Geometrie, der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Algebra, der Mengenlehre sowie in der Informatik und der theoretischen Physik (hier insbesondere in der statistischen Mechanik).

6. Was wird in der Kombinatorik als Permutation bezeichnet?

   Man bezeichnet in der Kombinatorik die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten einer Menge als Permutation. Diesbezüglich gilt: Eine Menge mit n-Elementen hat n! Anordnungsmöglichkeiten (n!=1*2*…*n)

7. Was versteht man unter geordneten und ungeordneten Stichproben?

   In der Kombinatorik gibt es geordnete und ungeordnete Stichproben. Hierbei kommt es darauf an, ob die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt wird oder nicht. Bei Anordnungen (auch als Permutationen bezeichnet) muss dagegen immer die Reihenfolge berücksichtigt werden.

8. Welche beiden Fälle sind grundsätzlich sowohl bei Permutationen als auch bei Variationen und Kombinationen zu unterscheiden?

   Bei Permutationen, Variationen und Kombinationen sind jeweils zwei Fälle zu unterscheiden: Kann man die Objekte untereinander unterscheiden, so spricht man von einer Permutation bzw. Variation oder Kombination "ohne Wiederholung". Falls die Objekte nicht untereinander unterscheidbar sind, spricht man von einer Permutation bzw. Variation oder Kombination "mit Wiederholung".

9. Was ist ein k-Tupel?

   Mit dem Begriff k-Tupel bezeichnet man in der Kombinatorik eine Aufzählung von nicht notwendig voneinander verschiedenen mathematischen Objekten (k), die in einer vorgegebenen, festen Reihenfolge aus einer (n-)Menge bestehen.

10. Was ist das Urnenmodell?

    Im Bereich der Kombinatorik werden oft Urnen als Modell betrachtet. Dabei werden aus den Urnen nach einer bestimmten Vorschrift Kugeln gezogen. Hintergrund: Viele Zufallsexperimente lassen sich mithilfe der Ziehung von Kugeln aus einer Urne verständlich und nachvollziehbar darstellen. In diesem Zusammenhang wird davon ausgegangen, dass die Urne eine definierte Menge an Kugeln enthält.

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