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Kettenregel

In der Differentialrechnung stellt die Kettenregel eine der Grundregeln dar. In ihr werden Aussagen über Funktionen getroffen, die selbst als Verkettungen zweier differenzierbarer Funktionen darstellbar sind. Die Kernaussage in der Kettenregel ist hierbei, dass eine derartig dargestellte Funktion wiederum selbst differenzierbar ist. Dabei entsteht durch die separate Ableitung beider miteinander verketteten Funktionen, der folgerichtigen Auswertung und deren Multiplikation wiederum eine Ableitung.

Verallgemeinert stellt sich die Kettenregel als eine Verkettung von mehr als zwei differenzierbaren Funktionen dar, die als Funktion wiederum differenzierbar ist und mittels Multiplikation der Ableitungen der ineinander verschachtelten Funktionen zur Ableitung führt.

Die Kettenregel ist als mehrdimensionale Kettenregel für den eindimensionalen Fall ein Spezialfall. Das Gegenstück dazu ist innerhalb der Integralrechnung die Integration durch Substitution.

Es bestehen sehr viele Regeln zur Ableitung aus unterschiedlichen Situationen. Die Kettenregel wird immer dann benötigt, wenn verkettete oder zusammengesetzte Funktionen abgeleitet werden sollen. Aus Funktionen werden dann verkettete Funktionen, wenn in einer Funktion statt x eine zweite Funktion eingesetzt wird, so etwa 2x in sin(x) eingesetzt ist f(x)=sin[2x]).

Verkettete Funktionen lassen sich immer dann erkennen, wenn in der Funktion das Argument komplizierter als x ist. Mit der Kettenregel werden unter anderem e-Funktionen, Wurzeln, Potenzen, trigonometrische Funktionen oder Logarithmen abgeleitet.

Was bedeutet „Ableitung“?

In der Differentialrechnung, die wiederum Bestandteil der mathematischen Analyse ist, dient die Ableitung einer Funktion dazu, lokale Veränderungen und deren Folgen innerhalb mathematischer Modelle zu untersuchen. Praktisch alle mathematischen Modelle basieren auf der Differentialrechnung und Veränderungen in den mathematischen Modellen sind durch Ableitungen berechenbar.

Beispiel für eine Funktion mit einer Kettenregel und deren Ableitung:

Funktion: f (x) = g( h ( x ) )
Ableitung: f´ (x) = g´ ( h (x) ) * h´ (x )

Die historischen Ursprünge der Differentialrechnung gehen auf den französischen Mathematiker Pierre de Fermat zurück. Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelten Fermats Modell zur modernen Analysis weiter.

Funktion

Im ersten Absatz wurde beschrieben, das verkettete Funktionen abgeleitet werden können. Dazu wird zuerst die innere Ableitung vorgenommen und daran anschließen die äußere Ableitung:

Beispiel: f (x) = 3 + (3x -2)²

Als Verkettung von u(v) und v(w) betrachtet, kann die Funktion folgendermaßen in Teilfunktionen aufgeteilt werden:

u(v) = 3 + v²
v(w) = 3w – 2

Die Ableitungen daraus sind:

u´(v) = 2v (äußere Ableitung)
v´(w) = 3 (innere Ableitung)

Zur Ableitung der gesamten Funktion müssen nun die innere und die äußere Ableitung miteinander multipliziert werden:

f'(x) = 3 * 2 * (3x - 2)
f'(x) = 6 * (3x - 2)
f'(x) = 18x - 12

das obige Beispiel stellt eine Verkettung zweier Funktionen dar. Eine mehrfache Verkettung ist ebenso möglich. Wichtig hierbei ist es, gemäß der Kettenregel, die innere Funktion in der Ableitung in Klammern stehen zu lassen.

Fragen und Aufgaben zur Kettenregel

1. Erstelle zu dieser verketteten Funktion die äußere und innere Funktion sowie deren Ableitungen dar
   f(x) = 5 * (6x + 1) ³

   Antwort: Äußere Funktion und Ableitung
   u(v) = 5v³
   u'(v) = 15v²

   Innere Funktion und Ableitung
   v(w) = 6w + 1
   v'(w) = 6

2. Stelle die erste Ableitung dieser Funktion dar: f(x) = (2x – 5) ³

   Antwort: f´ (x) = 6 * (2x - 5) ²

3. Stelle die erste Ableitung aus folgender verketteten Funktion dar: f(x) = e^3*5

   Antwort: f´(x) = 3e^3*5

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