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Bruchfunktionen

Der Begriff Bruchfunktion ist in der Mathematik der rationalen Funktion zugeordnet und wird eigentlich gebrochen rationale Funktion genannt.

Ist das Nennerpolynom Q n vom Grad n = 0, also konstant, so spricht man von einer ganzrationalen Funktion oder von einer Polynomfunktion.

Kann man den Funktionsterm ausschließlich mit einem Nennerpolynom vom Grad n > 0 darstellen, so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.

Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion. Ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann über Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden.

Beispiel für eine echt gebrochenrationale Funktion

Beispiel für eine unecht gebrochenrationale Funktion

Definitionsbereich, Nullstellen und Polstellen

Die gebrochenrationale Funktion ist an den Nullstellen der Nennerfunktion q nicht definiert. Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion werden durch diejenigen Nullstellen der Zählerfunktion p bestimmt, die zum Definitionsbereich der gesamten Funktion gehören. Ein Spezialfall ergibt sich, wenn eine reelle Zahl a ∈ ℝ gleichzeitig Nullstelle des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms ist. Dann sind Zähler- und Nennerpolynom durch den zugehörigen Linearfaktor x − a (eventuell sogar mehrfach) teilbar, das heißt, der Funktionsterm kann mit diesem Faktor (eventuell mehrfach) gekürzt werden. Kommt x − a im Nenner n-mal öfter vor als im Zähler (mit natürlicher Zahl n, n > 0, so liegt eine Polstelle vor (n heißt dann die Vielfachheit der Polstelle); andernfalls hat die rationale Funktion an der Stelle a eine stetig hebbare Definitionslücke und man kann die Funktion stetig fortsetzen.

Beispiele: Die Funktion f : x → (x – 1) / ( 2 x − 4 )² hat den Definitionsbereich D = ℝ \ { 2 }, da die
Nennerfunktion q : x → ( 2 x − 4 ) 2 die Nullstelle x = 2 hat, und die Nullstelle x = 1, da das die einzige Nullstelle der Zählerfunktion p : x → x − 1 ist (und x = 1 zu D gehört). x = 2 ist eine (doppelte) Polstelle.

Die Funktion f : x → (x² - x ) / (x² - x ) hat den Definitionsbereich D f = ℝ \ { ± 1 }. Hier ist aber nun x = 1 eine Nullstelle der Zähler- und der Nennerfunktion. Um den entsprechenden Linearfaktor ( x − 1 ) zu kürzen, faktorisiert man Zähler und Nenner zunächst (durch Ausklammern bzw. Anwenden der binomischen Formeln); das führt auf
f : x → (x * (x – 1)) / ((x + 1) * (x – 1))
bzw. nach kürzen auf
f : x → x / (x+1).

Damit ergibt sich: x = − 1 ist eine (einfache) Polstelle, x = 1 dagegen eine stetig behebbare Definitionslücke von f, und f hat die Nullstelle x = 0 (beachte: x = 1 ist keine Nullstelle von f, da dieser Wert nicht zu D gehört!). Für die stetige Fortsetzung von f ergibt sich:
f (x) = x / (x+1) und D f ∼ = ℝ \ { − 1 }

Fragen und Aufgaben zu Bruchfunktionen

1. Wann wird die Quotienten Regel verwendet?

   Antwort: Zur Ableitung von Brüchen

2. Wie sieht die erste Ableitung folgender Funktion aus? f(x) = 2e^3x : x²

   Antwort: f'(x) = 2e^3x (3x -2) : x³

3. Wie ist die Ableitung dieser Funktion? f(x) = 3x⁸ : 2x³

   Antwort: f'(x) = 7,5x⁴

4. Bestimme die Definitionsmenge dieser Funktion: f(x) = (7x – 3) / (8x – 5)

   Antwort: 8x – 5 = 0    | +5
   8x = 5         | : 8
   x = 5 / 8
   D_f = ℝ\ 5 / 8

5. Es ist gegeben der Term T(a) = 3 / (1 – a)
   Berechne T(4)

   Antwort: T(4) = 3 / (1 – 4) = 3 / -3 = -1

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