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Additionssatz

Im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es viele Gesetze und Formeln. Einer der wichtigsten Ansätze ist der Additionssatz. Mit dem Additionssatz lässt sich die Wahrscheinlichkeit vereinigter Ereignisse berechnen.

Fragen zum Additionssatz

1. Axiome spielen bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine große Rolle, und das 3. Axiom ist auch Grundlage des Additionssatzes. Was versteht man unter einem Axiom?

   Der Begriff „Wahrscheinlichkeit“ wird seit 1933 durch ein von Kolmogorow aufgestelltes Axiomensystem definiert. Damit wurden alle verschiedenen stochastischen Ansätze erstmals durch eine einheitliche Theorie standardisiert.

2. Um Wahrscheinlichkeiten auszudrücken, kann mit Baumdiagrammen gearbeitet werden. Welcher mathematische Satz wird dabei angewendet?

   Beim Arbeiten mit Baumdiagrammen im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird der Additionssatz angewendet. Dieser lautet: P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ C)

3. Bei Zufallsexperimenten gibt es eine Ergebnismenge (S). Eine Teilmenge wird als Ereignis (A) bezeichnet. Zu jeden Ereignis gehört ein Gegenereignis, wie ist dieses definiert?

   Das Gegenereignis erhält alle Ereignis die nicht das Ereignis A enthalten. Es entspricht also einer Teilmenge, aber ohne A.

4. Welche mathematische Formel kann verwendet werden um die Wahrscheinlichkeit von mehr als zwei Ereignissen zu berechnen?

   Der Additionssatz wird verwendet um die Wahrscheinlichkeit zweier unvereinbarer Ereignis zu berechnen. Um die Wahrscheinlichkeit von mehr als zwei Ereignissen zu berechnen kann die Siebformel von Sylvester-Poincaré herangezogen werden.

5. Die einzelnen sich ausschließenden Ereignisse eines Zufallsexperiments nennt man Elementarereignisse. Wie heißt die Menge aller möglichen Elementarereignisse?

   Die Menge aller möglichen Elementarereignisse nennt man Ereignisraum. Wenn der Ereignisraum richtig definiert wird, kann eine Aussage darüber getroffen werden, dass eines der Elementarereignisse sicher eintritt.

6. Die Augenzahl eines Würfels kann nicht gleichzeitig 3 und 4 sein! Wie nennt man dieses Ereignis?

   Da ausgeschlossen ist das beim Würfeln die Augenzahl 3 und 4 gleichzeitig auftreten nennt man dieses Ereignis disjunkt.

7. Der Additionssatz dient zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit zweier disjunkter Ereignisse. Wie lässt sich der Satz für n paarweise Ereignisse erweitern?

   Um n paarweise Ereignisse zu berechnen, muss der Additionssatz erweitert werden. Das Ergebnis der Erweiterung lautet: und wird s-Subadditivität genannt.

8. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine gerade Augenzahl oder eine drei zu würfeln, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, eine gerade Augenzahl zu würfeln, plus die Wahrscheinlichkeit eine drei zu würfeln. Denn man kann nicht zugleich eine drei und eine gerade Zahl würfeln: diese beiden Ereignisse schließen sich aus. Welches Gesetz beschreibt dieses Phänomen?

   Das Phänomen wird durch den Additionssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschrieben: Wenn zwei Ereignisse A und B unvereinbar sind = 0, dann gilt P( )=P(A)+P(B). Dabei bezeichnet P(A) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, P(B) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B, und P( ) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder das Ereignis A oder das Ereignis B eintritt.

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